Tantárgy kódja

MTO1206

Tantárgy neve

A matematika alapjai

Tantárgy angol neve

Foundations of Mathematics

Kredit

3

Félévi követelmény

Vizsga

Heti óraszám

2 + 0

Elmélet + Gyakorlat

Ajánlott félév

8

Cél

A hallgató legyen képes megkülönböztetni a termeket és a formulákat, legyen képes adott formulát és termet az induktív definíció alapján felépíteni, logikai műveleteket elvégezni, formulák igazságtáblázatát elkészíteni. Tudjon adott mondatokat nulladrendű illetve elsőrendű nyelvben formalizálni, a mondatokban szereplő összekötő jeleket a megfelelő logikai összekötő jelekkel helyettesíteni.

Cél angol

The aim of the course is that participants should develop their understanding of base concepts and techniques of mathematical logics. The student should distinguish between terms and formulas. The students should construct terms and formulas following its inductive definitions, calculate logical operations. The participants should write a given sentence as a formula in zeroth-order or in first-order languages, and apply the right logical connectives.

Tartalom

Az ítéletlogika nyelve, logikai műveletek, ítéletlogikai formulák, ítéletkalkulus. Kielégíthetőség. tautológiák, ekvivalens formulák, a konjunktív és diszjunktív normálforma. A logikai következmény fogalma. Elsőrendű nyelvek, termek, formulák, kvantorok, kötött és szabad változók, kötött változók átnevezése. Az elsőrendű nyelv modellje, kielégíthetőség, logikai törvények, ekvivalens formulák, a formula prenex alakja. A predikátumkalkulus, dedukció-tétel, Gödel tételei, a természetes levezetés technikája. Formális axiomatikus elméletek (axiómarendszerek). Naiv halmazelmélet. Halmazok megadása, halmazműveletek, hatványhalmaz. Halmazok ekvivalenciája. Számosságok és összehasonlításuk, műveletek számosságokkal. Megszámlálható és kontinuum számosságú halmazok.

Tartalom angol

Propositional calculus, logical operations (connectives), formulas. Validity and satisfiability of a formula, logically equivalent formulas, normal forms. Logical consequence of given premises. Mathematical logic. First-order languages, terms, formulas, free and bound variables, substitution. Interpretations of first-order language, Validity and satisfiability of a formula, equivalence of formulas, prenex forms. Proof theory, predicate calculus, consistency, completeness, Gödel's completeness theorem, technique of natural deduction. Formal axiomatic theories (systems of axioms) Naive set theory, declarations of sets, operations on sets, power set. Cardinality of sets and comparing sets, equinumerosity of sets. Countable and uncountable sets, cardinality of the continuum.

Számonkérés

Kollokvium. Év közben 2 zárthelyi dolgozat. A zárthelyi dolgozatok sikeres teljesítése előfeltétele a kollokviumnak. 

Számonkérés angol

Exam grade. 2  mid-term test satisfying  the required level.

Irodalom

1. Dragálin Albert, Buzási Szvetlana: Bevezetés a matematikai logikába, Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 1986. 2. Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1983. 3. Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda: A matematikai logika alkalmazásszemléletű tárgyalása. Panem Kiadó, Budapest, 2003. 4. Sashalminé Kelemen Éva: A matematikai logika és a halmazelmélet elemei. EKTF Liceum kiadó, Eger, 1996.

Irodalom angol

1. S. C. Kleene: Mathematical Logic. Wiley, 1968. 2. E. Mendelson: Introduction to Mathematical Logic, D. van Nostrand Company INC. 1964. 3. M. Fitting: First-order Logic and automated Theorem Proving. Springer, 1996.

Tantárgyfelelős intézet kódja

MII

Tantárgyfelelős oktató

Dr. Nagy Károly