Tantárgy kódja

MTO1109

Tantárgy neve

Algebra és számelmélet

Tantárgy angol neve

Algebra and Number Theory

Kredit

3

Félévi követelmény

Vizsga

Heti óraszám

2 + 0

Elmélet + Gyakorlat

Előkövetelmény

MTO1002, MTO1110E

Ajánlott félév

3

Cél

A hallgatók ismerjék meg a modern algebra fogalmait, problémafelvetéseit, legyenek képesek az eredmények alkotó alkalmazására felsőbb matematika más területein is. Sajátítsák el a polinomelmélet és a számelmélet alapvető tételeit, legfontosabb eljárásait. Erősödjön a hallgatókban a matematikai fogalomalkotás készsége és alakuljon ki a bizonyítási rutin. Legyenek képesek ezen a bázison a további kurzusok anyagának mélyebb feldolgozására.

Cél angol

Studens are to learn concepts, problem proposal of modern algebra, to be able to apply results creatively in othet parts of hogher mathematics. They are to acquire crucial procedures and theorems of   number and polynomial  theory Students should be able to formalize mathematical concepts,  they should acquire proving routine. On this basis they should be able to deeply understand and process topics of other courses. 

Tartalom

Komplex számok, egységgyökök. Alkalmazások geometriai feladatok megoldására. Polinomok gyökei. Harmad-és negyedfokú egyenlet. Az algebra alaptétele. Egyértelmű irreducibilis faktorizáció a test feletti polinomgyűrűkben. Irreducibilis polinomok a racionális, valós és komplex együtthatós polinomok gyűrűjében. Test feletti racionális függvénytest. Többhatározatlanú polinomok gyűrűje, szimmetrikus polinomok. Lineáris kongruenciák, kongruenciarendszerek és lineáris diofantikus egyenletek. Pitagoraszi számhármasok. Euler-Fermat tétel. Klasszikus kongruenciatételek. Számelméleti függvények. Elemi prímszámelmélet. Prímek száma, prímek reciprokainak összege. Tökéletes számok, Mersenne-és Fermat-féle prímek. Irracionális és racionális számok kapcsolata (approximáció), algebrai és transzcendens számok. Diofantoszi egyenletek. Nevezetes számelméleti problémák.

Tartalom angol

Complex numbers, roots of unity. Roots of polynomials. The fundamental theorem of algebra. Unique prime factorization in polynomial rings over fields. Irreducible polynomials in the rings of rational, real, complex polynomials. The ring of polynomials of several variables, symmetric polynomials.  Linear congruentces, congruence systems and linear Diophantine  equations. Euler-Fermat theorem. Classical congruence theorems. Arithmetic functions. Prime number theory, number of primes, sum of the reciprocal of the primes. Connections between irrational and rational nubers, algebraic and transcendental numbers.  Diophantine equation, Pythagorean numbers, Fermat equation. Important number theory problems.

Számonkérés

vizsgajegy 

Számonkérés angol

exam grade

Irodalom

1. Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2004 2. Kiss Péter, Mátyás Ferenc: A számelmélet elemei, Líceum Kiadó, 1997 3. Kurdics, J., Algebra I, Bessenyei Kiadó, Nyíregyháza, 2007. 4. Szendrei János : Algebra és számelmélet, Tankönyvkiadó, több kiadásban 5. van der Waerden, B.L.: Algebra, Springer, 2003

Irodalom angol

1.Dudley, Underwood,  Elementary Number Theory, W.H. Freeman & Company (1969) https://archive.org/details/ElementaryNumberTheory 2. Holder, Leonard Irvin, College algebra Wadsworth, Belmont (1987) 3. Spiegel, Murray R., Schaum’s outline of theory and problems of college algebra, McGraw-Hill, New York (1956)     4. van der Waerden, B.L.: Algebra, Springer, 2003

Tantárgyfelelős intézet kódja

MII

Tantárgyfelelős oktató

Dr. Kurdics János