Tantárgy kódja

MTO1102

Tantárgy neve

Analízis I.

Tantárgy angol neve

Mathematical Analysis I

Kredit

3

Félévi követelmény

Vizsga

Heti óraszám

2 + 0

Elmélet + Gyakorlat

Előkövetelmény

MTO1001, MTO1103E

Cél

A tantárgy általános célja, hogy megismertesse a hallgatót a matematikai analízis alapvető fogalmaival és eredményeivel. Tegye képessé arra, hogy önállóan gondolkodva tudjon feladatokat megoldani, olyanokat, melyek illeszkednek az előadás anyagához. A tárgy megalapozza a hallgató további matematikai tanulmányait. Általában véve is felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra.

Cél angol

The aim of the course is that participants should develop their understanding of base concepts and results of the mathematical analysis. The students should solve alone exercises connecting to the topic of theory. This subject is a bases of further mathematical studies. In general, it fits the students for mathematical, analytic thinking.

Tartalom

Valós számok: axiomatikus és konstruktív megalapozás. Korlátos számhalmazok, alsó és felső határ. Hatványozás. (természetes távolság, környezet, a valós számok metrikus tulajdonságai) Számsorozatok határértéke. Konvergens és divergens sorozatok. Végtelenhez tartó sorozatok. Határérték és műveletek. Határérték és egyenlőtlenségek. Monoton sorozatok. A Bolzano-Weierstass-tétel és a Cauchy-kritérium. Megszámlálható halmazok. Valós függvények globális tulajdonságai. Monotonitás, konvexitás. Függvények folytonossága és határértéke. Átviteli elvek. Folytonosság, határérték és műveletek. Folytonosság, határérték és egyenlőtlenségek. Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények. Monotonitás és határérték. Monotonitás és folytonosság. Konvexitás és folytonosság. Néhány fontos függvényosztály (polinom-függvények, racionális törtfüggvények, exponenciális függvények, hatványfüggvények, logaritmusfüggvények, trigonometrikus függvények és ezek inverzei, a hiperbolikus függvények és inverzeik).

Tartalom angol

Real numbers: axiomatic and constructive approach. Bounded number's sets, least upper bound, greatest lower bound. Exponentiation. (Natural distance, neighbourhood, metrical properties of real nmbers.) Limit of a sequence, convergent and divergent sequences. Sequences converge to infinity. Limits and operations. Monotonic sequences. The theorem of Bolzano and Weierstrass, the Cauchy convergence criterion. Countable sets. The fundamental properties of real functions, monotonic and convex functions. Continuous functions, limits of functions. Continuity, limits and operations. Continuity, limits and relations. Continuous functios on closed and bounded intervals. Monotonity and limits. Monotonity and continuity. Convexity and continuity. Some important function classes (polynomial functions, rational functions, exponential functions, power functions, logarithmic functions, trigonometric functions, hyperbolic functions and its inverse functions).

Számonkérés

Kollokvium ( a szemináriumon írt zárthelyi dolgozatok sikeres teljesítése előfeltétele a kollokviumnak).

Számonkérés angol

Exam grade (2  mid-term tests at practical course satisfying  the required level).

Irodalom

1. Császár Ákos: Valós analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984. 2. Lajkó Károly: Analízis I. Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2002. 3. Leindler László, Schipp Ferenc: Analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1999. 4. B.P.Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó,Budapest, 1987. 5. Rimán János: Matematikai analízis I. Liceum, Eger, 2004. 6. Rimán János: Matematikai analízis feladatgyűjtemény I-II. Liceum, Eger, 2004. 7. Szabó Tamás: Kalkulus I. Polygon, Szeged, 2003.

Irodalom angol

1. Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis (International Series in Pure & Applied Mathematics) (Paperback) 2. Davidson: Real Analysis, Prentice Hall, 2002. 3. Introduction to Real Analysis, updated April 2010, William F. Trench online version: http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF

Tantárgyfelelős intézet kódja

MII

Tantárgyfelelős oktató

Dr. Nagy Károly