Tantárgy kódja

TO1002

Tantárgy neve

Alkalmazott matematika és módszerei II.

Tantárgy angol neve

Applied Mathematics 1

Kredit

4

Félévi követelmény

Gyakorlati jegy

Heti óraszám

2 + 2

Elmélet + Gyakorlat

Előkövetelmény

TO1001

Ajánlott félév

2

Cél

A tárgy keretében a hallgatók a lineáris algebra valamint a valószínűségszámítás és matematikai statisztika alapvető témaköreivel ismerkednek meg. A szerzett ismereteket feladatmegoldásokban alkalmazzák.

Cél angol

The aim of the course is that participants should develop their understanding of base concepts and results of the probability theory and statistics. The students should solve alone exercises connecting to the topic of theory.

Tartalom

Komplex számok definíciója, műveletek komplex számok körében, összeadás, kivonás, szorzás, osztás, n-edik gyök. Komplex számok kanonikus és trigonometrikus alakja, műveletek elvégzése (hatványozás, szorzás, osztás) a trigonometrikus alak segítségével, komplex szám abszolút értéke, konjugáltja, n-edik egység gyökök. Algebrai egyenletek, az algebra alaptétele, n-ed fokú algebrai egyenlet megoldásainak a száma. Mátrixok, nevezetes mátrixok (négyzetes mátrix, zérusmátrix, egységmátrix, diagonál mátrix, szimmetrikus és antiszimmetrikus mátrix, felső és alsó háromszög mátrixok). Műveletek mátrixokkal, mátrixok összeadása, transzponáltja, szorzása skalárral illetve mátrixszal, mátrixok inverze, a műveletek tulajdonságai. Determinánsok, a determináns tulajdonságai, a lineáris egyenletrendszer általános alakja, determinánsok és lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának kapcsolata: Cramer-szabály, lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval. Lineáris terek. Lineáris függetlenség, függőség, bázis. Lineáris operátorok. Belső szorzat, norma, ortogonalitás (a szám n-esek terében). A kombinatorika elemei: permutáció, ismétléses permutáció, variáció, ismétléses variáció, kombináció és ismétléses kombináció (mintavétel és visszatevéses mintavétel). Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Eseménygyűrű és eseményalgebra, a Kolmogorov-féle valószínűségi mező, a valószínűség tulajdonságai, feltételes valószínűség, a teljes valószínűség tétele, a Bayes-tétel, események függetlensége, biztos és lehetetlen esemény. A valószínűségi változó, eloszlásfüggvény, diszkrét és folytonos valószínűségi változó, sűrűségfüggvény. Az eloszlásfüggvény és a sűrűségfüggvény jellemzése. Várható érték és tulajdonságai, szórás és tulajdonságai, kovariancia és korrelációs együttható, a függetlenség, függőség és a korrelációs együttható kapcsolata. Nevezetes diszkrét eloszlások ismertetése és jellemzése: diszkrét egyenletes eloszlás, binomiális eloszlás, Poisson-eloszlás. Nevezetes folytonos eloszlások ismertetése és jellemzése: egyenletes eloszlás, exponenciális eloszlás, normális eloszlás (és standard normális, standardizálás). A nagy számok törvényei. Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség. Statisztikai függvények: átlag, tapasztalati szórás, korrigált tapasztalati szórás, tapasztalati eloszlásfüggvény és tapasztalati sűrűségfüggvény (hisztogram). Néhány statisztikai próba.

Tartalom angol

The enumerative combinatorics: permutations with repetitions, permutations without repetitions, combinations with repetitions, combinations without repetitions. Probability theory: sigma-algebra, probability space (definition of Kolmogorov) (special examples: equiprobable sample space, geometrical sample space), properties of probability measure. Conditional probability, law of total probability, Bayes's theorem, empty set, sample space. Random variables, discrete random variables, absolutely continuous random variables, probability mass function, probability distribution function, probability density function, the description of probability density function, expected value and its properties, variance and its properties, independence, covariance, computational formula for the covariance, correlation, relationship between independence and correlation. Some discrete distribution: binomial distribution, hypergeometric distribution, Poisson distribution, discrete uniform distribution. Some continuous distributions: continuous uniform distribution, normal distribution, exponential distribution. Laws of large numbers. Statistics: random sample, sample mean, sample median, sample variance, unit area histogram (for density estimate). Null hypothesis, statistical tests: (one- and two-sample) z-test, (one- and two-sample) Student's t-test, chi^2 tests ( for independence and for consistence with a theoretical distribution).

Számonkérés

Gyakorlati jegy 3 zárthelyi dolgozat alapján. 

Számonkérés angol

Term grade based on 3 mid-term tests.

Irodalom

1. Solt György: Valószínűségszámítás. Műszaki Könyvkiadó, 2000. 2. Nagy Márta, Sztik János, Tar László: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika feladatgyűjtemény, Kossuth Egyetemi Kiadó, 2000. 3. Lukács Ottó: Matematikai statisztika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1996. 4. Deák István, Hans Zoltán: Valószínűségszámítás, Nyíregyházi Főiskola, 2006. 5. Gát György: Valószínűségszámítás jegyzet, 2010, Nyíregyháza,  http://zeus.nyf.hu/~mattan/faliujsag/valoszinusegszamitas.pdf

Irodalom angol

1. Gut, Allan (2013). Probability: A Graduate Course (Second ed.). New York, NY: Springer. ISBN 978-1-4614-4707-8. 2. Ross, Sheldon (2010). A First Course in Probability (8th ed.). Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-603313-4. 3. Peck, Roxy; Chris Olsen; Jay L. Devore (2008). Introduction to Statistics and Data Analysis (3 ed.). Cengage Learning. ISBN 0-495-55783-8. Retrieved 2009-08-04. 4. Samuel S. Wilks, Mathematical Statistics, John Wiley, 1962. 

Tantárgyfelelős intézet kódja

MII

Tantárgyfelelős oktató

Dr. Nagy Károly